3.16 \(\int \frac{A+B x}{(a+b x+c x^2)^2 (d+e x+f x^2)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=1075 \[ \text{result too large to display} \]

[Out]

-((A*c*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (A*b - a*B)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) + c*(A*b^2*f + 2*c*(A*c*d +
a*B*e - a*A*f) - b*(B*c*d + A*c*e + a*B*f))*x)/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(a +
b*x + c*x^2))) - ((b^5*(B*d - A*e)*f^2 - 2*b^4*f*(B*c*d*e - A*(c*e^2 - c*d*f + a*f^2)) - 4*c^2*(A*(c^3*d^3 - 3
*a^3*f^3 - a^2*c*f*(e^2 - 7*d*f) + a*c^2*d*(3*e^2 - 5*d*f)) - a*B*e*(c^2*d^2 - 3*a^2*f^2 - a*c*(e^2 - 2*d*f)))
- 4*b^2*c*(B*c^2*d^2*e + A*f*(2*c^2*d^2 + 3*a^2*f^2 + 3*a*c*(e^2 - d*f))) + 2*b*c*(B*(c^3*d^3 + 3*a^3*f^3 + a
*c^2*d*(e^2 - 7*d*f) + 3*a^2*c*f*(e^2 + d*f)) + A*c*e*(3*c^2*d^2 + 3*a^2*f^2 + a*c*(3*e^2 + 2*d*f))) - b^3*(A*
c*e*(c*e^2 - 2*c*d*f - 4*a*f^2) + B*(4*a*c*d*f^2 + a^2*f^3 - c^2*d*(e^2 + 5*d*f))))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b
^2 - 4*a*c]])/((b^2 - 4*a*c)^(3/2)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2) + ((
B*(c^2*d*e*(e^2 - 3*d*f) - 2*c*d*f*(b*e^2 - 2*b*d*f - a*e*f) + f^2*(b^2*d*e - 4*a*b*d*f + a^2*e*f)) - A*(c^2*(
e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2) - f^2*(2*a*b*e*f - 2*a^2*f^2 - b^2*(e^2 - 2*d*f)) + 2*c*f*(a*f*(e^2 - 2*d*f) - b*
(e^3 - 3*d*e*f))))*ArcTanh[(e + 2*f*x)/Sqrt[e^2 - 4*d*f]])/(Sqrt[e^2 - 4*d*f]*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^
2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2) + ((A*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) - B*(2*c*d*f*(b*e
- a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f)))*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2
*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2) - ((A*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) - B*(2*c*d*f*(b*e
- a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f)))*Log[d + e*x + f*x^2])/(2*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*
f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 4.17687, antiderivative size = 1067, normalized size of antiderivative = 0.99, number of steps used = 10, number of rules used = 6, integrand size = 30, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.2, Rules used = {1016, 1072, 634, 618, 206, 628} \[ -\frac{A c (2 a c e-b (c d+a f))+(A b-a B) \left (f b^2+2 c^2 d-c (b e+2 a f)\right )+c \left (A f b^2-(B c d+A c e+a B f) b+2 c (A c d+a B e-a A f)\right ) x}{\left (b^2-4 a c\right ) \left ((c d-a f)^2-(b d-a e) (c e-b f)\right ) \left (c x^2+b x+a\right )}-\frac{\left ((B d-A e) f^2 b^5-2 f \left (-a A f^2+B c d e-A c \left (e^2-d f\right )\right ) b^4-\left (A c e \left (c e^2-4 a f^2-2 c d f\right )+B \left (a^2 f^3+4 a c d f^2-c^2 d \left (e^2+5 d f\right )\right )\right ) b^3-4 \left (B d^2 e c^3+A f \left (2 c^2 d^2+3 a^2 f^2+3 a c \left (e^2-d f\right )\right ) c\right ) b^2+2 c \left (B \left (c^3 d^3+a c^2 \left (e^2-7 d f\right ) d+3 a^3 f^3+3 a^2 c f \left (e^2+d f\right )\right )+A c e \left (3 c^2 d^2+3 a^2 f^2+a c \left (3 e^2+2 d f\right )\right )\right ) b-4 c^2 \left (A \left (c^3 d^3+a c^2 \left (3 e^2-5 d f\right ) d-3 a^3 f^3-a^2 c f \left (e^2-7 d f\right )\right )-a B e \left (c^2 d^2-3 a^2 f^2-a c \left (e^2-2 d f\right )\right )\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}\right )}{\left (b^2-4 a c\right )^{3/2} \left (c^2 d^2-b c e d+f \left (f a^2-b e a+b^2 d\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}+\frac{\left (B \left (d e \left (e^2-3 d f\right ) c^2-2 d f \left (b e^2-a f e-2 b d f\right ) c+f^2 \left (e f a^2-4 b d f a+b^2 d e\right )\right )-A \left (\left (e^4-4 d f e^2+2 d^2 f^2\right ) c^2+2 f \left (a f \left (e^2-2 d f\right )-b \left (e^3-3 d e f\right )\right ) c-f^2 \left (-\left (e^2-2 d f\right ) b^2+2 a e f b-2 a^2 f^2\right )\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{e+2 f x}{\sqrt{e^2-4 d f}}\right )}{\sqrt{e^2-4 d f} \left (c^2 d^2-b c e d+f \left (f a^2-b e a+b^2 d\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}+\frac{\left (A (c e-b f) \left (f (b e-2 a f)-c \left (e^2-2 d f\right )\right )-B \left (-d \left (e^2-d f\right ) c^2+2 d f (b e-a f) c-f^2 \left (b^2 d-a^2 f\right )\right )\right ) \log \left (c x^2+b x+a\right )}{2 \left (c^2 d^2-b c e d+f \left (f a^2-b e a+b^2 d\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}-\frac{\left (A (c e-b f) \left (f (b e-2 a f)-c \left (e^2-2 d f\right )\right )-B \left (-d \left (e^2-d f\right ) c^2+2 d f (b e-a f) c-f^2 \left (b^2 d-a^2 f\right )\right )\right ) \log \left (f x^2+e x+d\right )}{2 \left (c^2 d^2-b c e d+f \left (f a^2-b e a+b^2 d\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + B*x)/((a + b*x + c*x^2)^2*(d + e*x + f*x^2)),x]

[Out]

-((A*c*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (A*b - a*B)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) + c*(A*b^2*f + 2*c*(A*c*d +
a*B*e - a*A*f) - b*(B*c*d + A*c*e + a*B*f))*x)/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(a +
b*x + c*x^2))) - ((b^5*(B*d - A*e)*f^2 - 2*b^4*f*(B*c*d*e - a*A*f^2 - A*c*(e^2 - d*f)) - 4*c^2*(A*(c^3*d^3 - 3
*a^3*f^3 - a^2*c*f*(e^2 - 7*d*f) + a*c^2*d*(3*e^2 - 5*d*f)) - a*B*e*(c^2*d^2 - 3*a^2*f^2 - a*c*(e^2 - 2*d*f)))
- 4*b^2*(B*c^3*d^2*e + A*c*f*(2*c^2*d^2 + 3*a^2*f^2 + 3*a*c*(e^2 - d*f))) + 2*b*c*(B*(c^3*d^3 + 3*a^3*f^3 + a
*c^2*d*(e^2 - 7*d*f) + 3*a^2*c*f*(e^2 + d*f)) + A*c*e*(3*c^2*d^2 + 3*a^2*f^2 + a*c*(3*e^2 + 2*d*f))) - b^3*(A*
c*e*(c*e^2 - 2*c*d*f - 4*a*f^2) + B*(4*a*c*d*f^2 + a^2*f^3 - c^2*d*(e^2 + 5*d*f))))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b
^2 - 4*a*c]])/((b^2 - 4*a*c)^(3/2)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) + a*c*(e^2 - 2*d*f))^2) + ((
B*(c^2*d*e*(e^2 - 3*d*f) - 2*c*d*f*(b*e^2 - 2*b*d*f - a*e*f) + f^2*(b^2*d*e - 4*a*b*d*f + a^2*e*f)) - A*(c^2*(
e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2) - f^2*(2*a*b*e*f - 2*a^2*f^2 - b^2*(e^2 - 2*d*f)) + 2*c*f*(a*f*(e^2 - 2*d*f) - b*
(e^3 - 3*d*e*f))))*ArcTanh[(e + 2*f*x)/Sqrt[e^2 - 4*d*f]])/(Sqrt[e^2 - 4*d*f]*(c^2*d^2 - b*c*d*e + f*(b^2*d -
a*b*e + a^2*f) + a*c*(e^2 - 2*d*f))^2) + ((A*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) - B*(2*c*d*f*(b*e
- a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f)))*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*(c^2*d^2 - b*c*d*e + f*(b^2*d - a
*b*e + a^2*f) + a*c*(e^2 - 2*d*f))^2) - ((A*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) - B*(2*c*d*f*(b*e
- a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f)))*Log[d + e*x + f*x^2])/(2*(c^2*d^2 - b*c*d*e + f*(b^2*d - a*
b*e + a^2*f) + a*c*(e^2 - 2*d*f))^2)

Rule 1016

Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Sy
mbol] :> Simp[((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^(q + 1)*(g*c*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (g*b - a*h
)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) + c*(g*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) - h*(b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)
)*x))/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1)), x] + Dist[1/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*
f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1)), Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^q*Simp[(b*h - 2*g*c)
*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1) + (b^2*(g*f) - b*(h*c*d + g*c*e + a*h*f) + 2*(g*c*(c*d - a*
f) - a*(-(h*c*e))))*(a*f*(p + 1) - c*d*(p + 2)) - e*((g*c)*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (g*b - a*h)*(2*c^2*d +
b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)))*(p + q + 2) - (2*f*((g*c)*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (g*b - a*h)*(2*c^2*d + b^2*f -
c*(b*e + 2*a*f)))*(p + q + 2) - (b^2*g*f - b*(h*c*d + g*c*e + a*h*f) + 2*(g*c*(c*d - a*f) - a*(-(h*c*e))))*(b
*f*(p + 1) - c*e*(2*p + q + 4)))*x - c*f*(b^2*(g*f) - b*(h*c*d + g*c*e + a*h*f) + 2*(g*c*(c*d - a*f) + a*h*c*e
))*(2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2
- 4*d*f, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[(c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f), 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -1
])

Rule 1072

Int[((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)
), x_Symbol] :> With[{q = c^2*d^2 - b*c*d*e + a*c*e^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f - a*b*e*f + a^2*f^2}, Dist[1/q, In
t[(A*c^2*d - a*c*C*d - A*b*c*e + a*B*c*e + A*b^2*f - a*b*B*f - a*A*c*f + a^2*C*f + c*(B*c*d - b*C*d - A*c*e +
a*C*e + A*b*f - a*B*f)*x)/(a + b*x + c*x^2), x], x] + Dist[1/q, Int[(c*C*d^2 - B*c*d*e + A*c*e^2 + b*B*d*f - A
*c*d*f - a*C*d*f - A*b*e*f + a*A*f^2 - f*(B*c*d - b*C*d - A*c*e + a*C*e + A*b*f - a*B*f)*x)/(d + e*x + f*x^2),
x], x] /; NeQ[q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0]

Rule 634

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Dist[(2*c*d - b*e)/(2*c), Int[1/(a +
b*x + c*x^2), x], x] + Dist[e/(2*c), Int[(b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &
& NeQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c]

Rule 618

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 628

Int[((d_) + (e_.)*(x_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(d*Log[RemoveContent[a + b*x +
c*x^2, x]])/b, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+B x}{\left (a+b x+c x^2\right )^2 \left (d+e x+f x^2\right )} \, dx &=-\frac{A c (2 a c e-b (c d+a f))+(A b-a B) \left (2 c^2 d+b^2 f-c (b e+2 a f)\right )+c \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right ) x}{\left (b^2-4 a c\right ) \left ((c d-a f)^2-(b d-a e) (c e-b f)\right ) \left (a+b x+c x^2\right )}-\frac{\int \frac{-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )+\left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right ) x+c f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right ) x^2}{\left (a+b x+c x^2\right ) \left (d+e x+f x^2\right )} \, dx}{\left (b^2-4 a c\right ) \left ((c d-a f)^2-(b d-a e) (c e-b f)\right )}\\ &=-\frac{A c (2 a c e-b (c d+a f))+(A b-a B) \left (2 c^2 d+b^2 f-c (b e+2 a f)\right )+c \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right ) x}{\left (b^2-4 a c\right ) \left ((c d-a f)^2-(b d-a e) (c e-b f)\right ) \left (a+b x+c x^2\right )}-\frac{\int \frac{-a c^2 d f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a^2 c f^2 \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a c e \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-a b f \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )+c^2 d \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )-b c e \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )+b^2 f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )-a c f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )+c \left (-b c d f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a c e f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+c d \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-a f \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-c e \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )+b f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )\right ) x}{a+b x+c x^2} \, dx}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}-\frac{\int \frac{c^2 d^2 f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )-a c d f^2 \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )-c d e \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )+b d f \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )+c e^2 \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )-c d f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )-b e f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )+a f^2 \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )-f \left (-b c d f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a c e f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+c d \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-a f \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-c e \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )+b f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )\right ) x}{d+e x+f x^2} \, dx}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}\\ &=-\frac{A c (2 a c e-b (c d+a f))+(A b-a B) \left (2 c^2 d+b^2 f-c (b e+2 a f)\right )+c \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right ) x}{\left (b^2-4 a c\right ) \left ((c d-a f)^2-(b d-a e) (c e-b f)\right ) \left (a+b x+c x^2\right )}+\frac{\left (A (c e-b f) \left (f (b e-2 a f)-c \left (e^2-2 d f\right )\right )-B \left (2 c d f (b e-a f)-f^2 \left (b^2 d-a^2 f\right )-c^2 d \left (e^2-d f\right )\right )\right ) \int \frac{b+2 c x}{a+b x+c x^2} \, dx}{2 \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}-\frac{\left (A (c e-b f) \left (f (b e-2 a f)-c \left (e^2-2 d f\right )\right )-B \left (2 c d f (b e-a f)-f^2 \left (b^2 d-a^2 f\right )-c^2 d \left (e^2-d f\right )\right )\right ) \int \frac{e+2 f x}{d+e x+f x^2} \, dx}{2 \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}-\frac{\left (B \left (c^2 d e \left (e^2-3 d f\right )-2 c d f \left (b e^2-2 b d f-a e f\right )+f^2 \left (b^2 d e-4 a b d f+a^2 e f\right )\right )-A \left (c^2 \left (e^4-4 d e^2 f+2 d^2 f^2\right )-f^2 \left (2 a b e f-2 a^2 f^2-b^2 \left (e^2-2 d f\right )\right )+2 c f \left (a f \left (e^2-2 d f\right )-b \left (e^3-3 d e f\right )\right )\right )\right ) \int \frac{1}{d+e x+f x^2} \, dx}{2 \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}-\frac{\left (-b c \left (-b c d f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a c e f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+c d \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-a f \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-c e \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )+b f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )\right )+2 c \left (-a c^2 d f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a^2 c f^2 \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a c e \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-a b f \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )+c^2 d \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )-b c e \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )+b^2 f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )-a c f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )\right )\right ) \int \frac{1}{a+b x+c x^2} \, dx}{2 c \left (b^2-4 a c\right ) \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}\\ &=-\frac{A c (2 a c e-b (c d+a f))+(A b-a B) \left (2 c^2 d+b^2 f-c (b e+2 a f)\right )+c \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right ) x}{\left (b^2-4 a c\right ) \left ((c d-a f)^2-(b d-a e) (c e-b f)\right ) \left (a+b x+c x^2\right )}+\frac{\left (A (c e-b f) \left (f (b e-2 a f)-c \left (e^2-2 d f\right )\right )-B \left (2 c d f (b e-a f)-f^2 \left (b^2 d-a^2 f\right )-c^2 d \left (e^2-d f\right )\right )\right ) \log \left (a+b x+c x^2\right )}{2 \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}-\frac{\left (A (c e-b f) \left (f (b e-2 a f)-c \left (e^2-2 d f\right )\right )-B \left (2 c d f (b e-a f)-f^2 \left (b^2 d-a^2 f\right )-c^2 d \left (e^2-d f\right )\right )\right ) \log \left (d+e x+f x^2\right )}{2 \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}+\frac{\left (B \left (c^2 d e \left (e^2-3 d f\right )-2 c d f \left (b e^2-2 b d f-a e f\right )+f^2 \left (b^2 d e-4 a b d f+a^2 e f\right )\right )-A \left (c^2 \left (e^4-4 d e^2 f+2 d^2 f^2\right )-f^2 \left (2 a b e f-2 a^2 f^2-b^2 \left (e^2-2 d f\right )\right )+2 c f \left (a f \left (e^2-2 d f\right )-b \left (e^3-3 d e f\right )\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{e^2-4 d f-x^2} \, dx,x,e+2 f x\right )}{\left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}+\frac{\left (-b c \left (-b c d f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a c e f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+c d \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-a f \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-c e \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )+b f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )\right )+2 c \left (-a c^2 d f \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a^2 c f^2 \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right )+a c e \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )-a b f \left (A b^3 f^2+b^2 B f (c d-a f)-b c \left (B c d e+A c e^2+a B e f+4 a A f^2\right )+2 c \left (A c e (c d+a f)+a B \left (c e^2-2 c d f+2 a f^2\right )\right )\right )+c^2 d \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )-b c e \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )+b^2 f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )-a c f \left (-b^3 (B d f-A e f)-b c (B d (c d-3 a f)+A e (c d+4 a f))+b^2 \left (B c d e-A \left (c e^2-2 c d f+a f^2\right )\right )-2 c \left (a B c d e-A \left (c^2 d^2+2 a c e^2-3 a c d f+2 a^2 f^2\right )\right )\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{b^2-4 a c-x^2} \, dx,x,b+2 c x\right )}{c \left (b^2-4 a c\right ) \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}\\ &=-\frac{A c (2 a c e-b (c d+a f))+(A b-a B) \left (2 c^2 d+b^2 f-c (b e+2 a f)\right )+c \left (A b^2 f+2 c (A c d+a B e-a A f)-b (B c d+A c e+a B f)\right ) x}{\left (b^2-4 a c\right ) \left ((c d-a f)^2-(b d-a e) (c e-b f)\right ) \left (a+b x+c x^2\right )}-\frac{\left (b^5 (B d-A e) f^2-2 b^4 f \left (B c d e-a A f^2-A c \left (e^2-d f\right )\right )-4 c^2 \left (A \left (c^3 d^3-3 a^3 f^3-a^2 c f \left (e^2-7 d f\right )+a c^2 d \left (3 e^2-5 d f\right )\right )-a B e \left (c^2 d^2-3 a^2 f^2-a c \left (e^2-2 d f\right )\right )\right )-4 b^2 \left (B c^3 d^2 e+A c f \left (2 c^2 d^2+3 a^2 f^2+3 a c \left (e^2-d f\right )\right )\right )+2 b c \left (B \left (c^3 d^3+3 a^3 f^3+a c^2 d \left (e^2-7 d f\right )+3 a^2 c f \left (e^2+d f\right )\right )+A c e \left (3 c^2 d^2+3 a^2 f^2+a c \left (3 e^2+2 d f\right )\right )\right )-b^3 \left (A c e \left (c e^2-2 c d f-4 a f^2\right )+B \left (4 a c d f^2+a^2 f^3-c^2 d \left (e^2+5 d f\right )\right )\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}\right )}{\left (b^2-4 a c\right )^{3/2} \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}+\frac{\left (B \left (c^2 d e \left (e^2-3 d f\right )-2 c d f \left (b e^2-2 b d f-a e f\right )+f^2 \left (b^2 d e-4 a b d f+a^2 e f\right )\right )-A \left (c^2 \left (e^4-4 d e^2 f+2 d^2 f^2\right )-f^2 \left (2 a b e f-2 a^2 f^2-b^2 \left (e^2-2 d f\right )\right )+2 c f \left (a f \left (e^2-2 d f\right )-b \left (e^3-3 d e f\right )\right )\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{e+2 f x}{\sqrt{e^2-4 d f}}\right )}{\sqrt{e^2-4 d f} \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}+\frac{\left (A (c e-b f) \left (f (b e-2 a f)-c \left (e^2-2 d f\right )\right )-B \left (2 c d f (b e-a f)-f^2 \left (b^2 d-a^2 f\right )-c^2 d \left (e^2-d f\right )\right )\right ) \log \left (a+b x+c x^2\right )}{2 \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}-\frac{\left (A (c e-b f) \left (f (b e-2 a f)-c \left (e^2-2 d f\right )\right )-B \left (2 c d f (b e-a f)-f^2 \left (b^2 d-a^2 f\right )-c^2 d \left (e^2-d f\right )\right )\right ) \log \left (d+e x+f x^2\right )}{2 \left (c^2 d^2-b c d e+f \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right )+a c \left (e^2-2 d f\right )\right )^2}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 7.64068, size = 1376, normalized size = 1.28 \[ \frac{-A f b^3+A c e b^2+a B f b^2-A c f x b^2-A c^2 d b-a B c e b+3 a A c f b+B c^2 d x b+A c^2 e x b+a B c f x b+2 a B c^2 d-2 a A c^2 e-2 a^2 B c f-2 A c^3 d x-2 a B c^2 e x+2 a A c^2 f x}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (d f b^2-c d e b-a e f b+c^2 d^2+a c e^2+a^2 f^2-2 a c d f\right ) \left (c x^2+b x+a\right )}+\frac{\left (B d f^2 b^5-A e f^2 b^5+2 a A f^3 b^4-2 A c d f^2 b^4+2 A c e^2 f b^4-2 B c d e f b^4-A c^2 e^3 b^3-a^2 B f^3 b^3+B c^2 d e^2 b^3-4 a B c d f^2 b^3+4 a A c e f^2 b^3+5 B c^2 d^2 f b^3+2 A c^2 d e f b^3-12 a^2 A c f^3 b^2+12 a A c^2 d f^2 b^2-4 B c^3 d^2 e b^2-8 A c^3 d^2 f b^2-12 a A c^2 e^2 f b^2+2 B c^4 d^3 b+6 a A c^3 e^3 b+6 a^3 B c f^3 b+2 a B c^3 d e^2 b+6 a^2 B c^2 d f^2 b+6 a^2 A c^2 e f^2 b+6 A c^4 d^2 e b-14 a B c^3 d^2 f b+6 a^2 B c^2 e^2 f b+4 a A c^3 d e f b-4 A c^5 d^3-4 a^2 B c^3 e^3+12 a^3 A c^2 f^3-12 a A c^4 d e^2-28 a^2 A c^3 d f^2-12 a^3 B c^2 e f^2+4 a B c^4 d^2 e+20 a A c^4 d^2 f+4 a^2 A c^3 e^2 f+8 a^2 B c^3 d e f\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{b+2 c x}{\sqrt{4 a c-b^2}}\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{4 a c-b^2} \left (d f b^2-c d e b-a e f b+c^2 d^2+a c e^2+a^2 f^2-2 a c d f\right )^2}+\frac{\left (A c^2 e^4-B c^2 d e^3-2 A b c f e^3+A b^2 f^2 e^2+2 a A c f^2 e^2-4 A c^2 d f e^2+2 b B c d f e^2-2 a A b f^3 e-a^2 B f^3 e-b^2 B d f^2 e+6 A b c d f^2 e-2 a B c d f^2 e+3 B c^2 d^2 f e+2 a^2 A f^4-2 A b^2 d f^3+4 a b B d f^3-4 a A c d f^3+2 A c^2 d^2 f^2-4 b B c d^2 f^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{e+2 f x}{\sqrt{4 d f-e^2}}\right )}{\sqrt{4 d f-e^2} \left (d f b^2-c d e b-a e f b+c^2 d^2+a c e^2+a^2 f^2-2 a c d f\right )^2}+\frac{\left (-A c^2 e^3+B c^2 d e^2+2 A b c f e^2-A b^2 f^2 e-2 a A c f^2 e+2 A c^2 d f e-2 b B c d f e+2 a A b f^3-a^2 B f^3+b^2 B d f^2-2 A b c d f^2+2 a B c d f^2-B c^2 d^2 f\right ) \log \left (c x^2+b x+a\right )}{2 \left (d f b^2-c d e b-a e f b+c^2 d^2+a c e^2+a^2 f^2-2 a c d f\right )^2}+\frac{\left (A c^2 e^3-B c^2 d e^2-2 A b c f e^2+A b^2 f^2 e+2 a A c f^2 e-2 A c^2 d f e+2 b B c d f e-2 a A b f^3+a^2 B f^3-b^2 B d f^2+2 A b c d f^2-2 a B c d f^2+B c^2 d^2 f\right ) \log \left (f x^2+e x+d\right )}{2 \left (d f b^2-c d e b-a e f b+c^2 d^2+a c e^2+a^2 f^2-2 a c d f\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(A + B*x)/((a + b*x + c*x^2)^2*(d + e*x + f*x^2)),x]

[Out]

(-(A*b*c^2*d) + 2*a*B*c^2*d + A*b^2*c*e - a*b*B*c*e - 2*a*A*c^2*e - A*b^3*f + a*b^2*B*f + 3*a*A*b*c*f - 2*a^2*
B*c*f + b*B*c^2*d*x - 2*A*c^3*d*x + A*b*c^2*e*x - 2*a*B*c^2*e*x - A*b^2*c*f*x + a*b*B*c*f*x + 2*a*A*c^2*f*x)/(
(b^2 - 4*a*c)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + a*c*e^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f - a*b*e*f + a^2*f^2)*(a + b*x + c*x^2)) + ((2
*b*B*c^4*d^3 - 4*A*c^5*d^3 - 4*b^2*B*c^3*d^2*e + 6*A*b*c^4*d^2*e + 4*a*B*c^4*d^2*e + b^3*B*c^2*d*e^2 + 2*a*b*B
*c^3*d*e^2 - 12*a*A*c^4*d*e^2 - A*b^3*c^2*e^3 + 6*a*A*b*c^3*e^3 - 4*a^2*B*c^3*e^3 + 5*b^3*B*c^2*d^2*f - 8*A*b^
2*c^3*d^2*f - 14*a*b*B*c^3*d^2*f + 20*a*A*c^4*d^2*f - 2*b^4*B*c*d*e*f + 2*A*b^3*c^2*d*e*f + 4*a*A*b*c^3*d*e*f
+ 8*a^2*B*c^3*d*e*f + 2*A*b^4*c*e^2*f - 12*a*A*b^2*c^2*e^2*f + 6*a^2*b*B*c^2*e^2*f + 4*a^2*A*c^3*e^2*f + b^5*B
*d*f^2 - 2*A*b^4*c*d*f^2 - 4*a*b^3*B*c*d*f^2 + 12*a*A*b^2*c^2*d*f^2 + 6*a^2*b*B*c^2*d*f^2 - 28*a^2*A*c^3*d*f^2
- A*b^5*e*f^2 + 4*a*A*b^3*c*e*f^2 + 6*a^2*A*b*c^2*e*f^2 - 12*a^3*B*c^2*e*f^2 + 2*a*A*b^4*f^3 - a^2*b^3*B*f^3
- 12*a^2*A*b^2*c*f^3 + 6*a^3*b*B*c*f^3 + 12*a^3*A*c^2*f^3)*ArcTan[(b + 2*c*x)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])/((b^2 - 4*a
*c)*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]*(c^2*d^2 - b*c*d*e + a*c*e^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f - a*b*e*f + a^2*f^2)^2) + ((-(B*c^2*
d*e^3) + A*c^2*e^4 + 3*B*c^2*d^2*e*f + 2*b*B*c*d*e^2*f - 4*A*c^2*d*e^2*f - 2*A*b*c*e^3*f - 4*b*B*c*d^2*f^2 + 2
*A*c^2*d^2*f^2 - b^2*B*d*e*f^2 + 6*A*b*c*d*e*f^2 - 2*a*B*c*d*e*f^2 + A*b^2*e^2*f^2 + 2*a*A*c*e^2*f^2 - 2*A*b^2
*d*f^3 + 4*a*b*B*d*f^3 - 4*a*A*c*d*f^3 - 2*a*A*b*e*f^3 - a^2*B*e*f^3 + 2*a^2*A*f^4)*ArcTan[(e + 2*f*x)/Sqrt[-e
^2 + 4*d*f]])/(Sqrt[-e^2 + 4*d*f]*(c^2*d^2 - b*c*d*e + a*c*e^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f - a*b*e*f + a^2*f^2)^2) +
((B*c^2*d*e^2 - A*c^2*e^3 - B*c^2*d^2*f - 2*b*B*c*d*e*f + 2*A*c^2*d*e*f + 2*A*b*c*e^2*f + b^2*B*d*f^2 - 2*A*b
*c*d*f^2 + 2*a*B*c*d*f^2 - A*b^2*e*f^2 - 2*a*A*c*e*f^2 + 2*a*A*b*f^3 - a^2*B*f^3)*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*(c^
2*d^2 - b*c*d*e + a*c*e^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f - a*b*e*f + a^2*f^2)^2) + ((-(B*c^2*d*e^2) + A*c^2*e^3 + B*c^2
*d^2*f + 2*b*B*c*d*e*f - 2*A*c^2*d*e*f - 2*A*b*c*e^2*f - b^2*B*d*f^2 + 2*A*b*c*d*f^2 - 2*a*B*c*d*f^2 + A*b^2*e
*f^2 + 2*a*A*c*e*f^2 - 2*a*A*b*f^3 + a^2*B*f^3)*Log[d + e*x + f*x^2])/(2*(c^2*d^2 - b*c*d*e + a*c*e^2 + b^2*d*
f - 2*a*c*d*f - a*b*e*f + a^2*f^2)^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.312, size = 51470, normalized size = 47.9 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((B*x+A)/(c*x^2+b*x+a)^2/(f*x^2+e*x+d),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(c*x^2+b*x+a)^2/(f*x^2+e*x+d),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(c*x^2+b*x+a)^2/(f*x^2+e*x+d),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(c*x**2+b*x+a)**2/(f*x**2+e*x+d),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.57819, size = 4355, normalized size = 4.05 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(c*x^2+b*x+a)^2/(f*x^2+e*x+d),x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*(B*c^2*d^2*f - B*b^2*d*f^2 - 2*B*a*c*d*f^2 + 2*A*b*c*d*f^2 + B*a^2*f^3 - 2*A*a*b*f^3 + 2*B*b*c*d*f*e - 2*
A*c^2*d*f*e + A*b^2*f^2*e + 2*A*a*c*f^2*e - B*c^2*d*e^2 - 2*A*b*c*f*e^2 + A*c^2*e^3)*log(c*x^2 + b*x + a)/(c^4
*d^4 + 2*b^2*c^2*d^3*f - 4*a*c^3*d^3*f + b^4*d^2*f^2 - 4*a*b^2*c*d^2*f^2 + 6*a^2*c^2*d^2*f^2 + 2*a^2*b^2*d*f^3
- 4*a^3*c*d*f^3 + a^4*f^4 - 2*b*c^3*d^3*e - 2*b^3*c*d^2*f*e + 2*a*b*c^2*d^2*f*e - 2*a*b^3*d*f^2*e + 2*a^2*b*c
*d*f^2*e - 2*a^3*b*f^3*e + b^2*c^2*d^2*e^2 + 2*a*c^3*d^2*e^2 + 4*a*b^2*c*d*f*e^2 - 4*a^2*c^2*d*f*e^2 + a^2*b^2
*f^2*e^2 + 2*a^3*c*f^2*e^2 - 2*a*b*c^2*d*e^3 - 2*a^2*b*c*f*e^3 + a^2*c^2*e^4) + 1/2*(B*c^2*d^2*f - B*b^2*d*f^2
- 2*B*a*c*d*f^2 + 2*A*b*c*d*f^2 + B*a^2*f^3 - 2*A*a*b*f^3 + 2*B*b*c*d*f*e - 2*A*c^2*d*f*e + A*b^2*f^2*e + 2*A
*a*c*f^2*e - B*c^2*d*e^2 - 2*A*b*c*f*e^2 + A*c^2*e^3)*log(f*x^2 + x*e + d)/(c^4*d^4 + 2*b^2*c^2*d^3*f - 4*a*c^
3*d^3*f + b^4*d^2*f^2 - 4*a*b^2*c*d^2*f^2 + 6*a^2*c^2*d^2*f^2 + 2*a^2*b^2*d*f^3 - 4*a^3*c*d*f^3 + a^4*f^4 - 2*
b*c^3*d^3*e - 2*b^3*c*d^2*f*e + 2*a*b*c^2*d^2*f*e - 2*a*b^3*d*f^2*e + 2*a^2*b*c*d*f^2*e - 2*a^3*b*f^3*e + b^2*
c^2*d^2*e^2 + 2*a*c^3*d^2*e^2 + 4*a*b^2*c*d*f*e^2 - 4*a^2*c^2*d*f*e^2 + a^2*b^2*f^2*e^2 + 2*a^3*c*f^2*e^2 - 2*
a*b*c^2*d*e^3 - 2*a^2*b*c*f*e^3 + a^2*c^2*e^4) + (2*B*b*c^4*d^3 - 4*A*c^5*d^3 + 5*B*b^3*c^2*d^2*f - 14*B*a*b*c
^3*d^2*f - 8*A*b^2*c^3*d^2*f + 20*A*a*c^4*d^2*f + B*b^5*d*f^2 - 4*B*a*b^3*c*d*f^2 - 2*A*b^4*c*d*f^2 + 6*B*a^2*
b*c^2*d*f^2 + 12*A*a*b^2*c^2*d*f^2 - 28*A*a^2*c^3*d*f^2 - B*a^2*b^3*f^3 + 2*A*a*b^4*f^3 + 6*B*a^3*b*c*f^3 - 12
*A*a^2*b^2*c*f^3 + 12*A*a^3*c^2*f^3 - 4*B*b^2*c^3*d^2*e + 4*B*a*c^4*d^2*e + 6*A*b*c^4*d^2*e - 2*B*b^4*c*d*f*e
+ 2*A*b^3*c^2*d*f*e + 8*B*a^2*c^3*d*f*e + 4*A*a*b*c^3*d*f*e - A*b^5*f^2*e + 4*A*a*b^3*c*f^2*e - 12*B*a^3*c^2*f
^2*e + 6*A*a^2*b*c^2*f^2*e + B*b^3*c^2*d*e^2 + 2*B*a*b*c^3*d*e^2 - 12*A*a*c^4*d*e^2 + 2*A*b^4*c*f*e^2 + 6*B*a^
2*b*c^2*f*e^2 - 12*A*a*b^2*c^2*f*e^2 + 4*A*a^2*c^3*f*e^2 - A*b^3*c^2*e^3 - 4*B*a^2*c^3*e^3 + 6*A*a*b*c^3*e^3)*
arctan((2*c*x + b)/sqrt(-b^2 + 4*a*c))/((b^2*c^4*d^4 - 4*a*c^5*d^4 + 2*b^4*c^2*d^3*f - 12*a*b^2*c^3*d^3*f + 16
*a^2*c^4*d^3*f + b^6*d^2*f^2 - 8*a*b^4*c*d^2*f^2 + 22*a^2*b^2*c^2*d^2*f^2 - 24*a^3*c^3*d^2*f^2 + 2*a^2*b^4*d*f
^3 - 12*a^3*b^2*c*d*f^3 + 16*a^4*c^2*d*f^3 + a^4*b^2*f^4 - 4*a^5*c*f^4 - 2*b^3*c^3*d^3*e + 8*a*b*c^4*d^3*e - 2
*b^5*c*d^2*f*e + 10*a*b^3*c^2*d^2*f*e - 8*a^2*b*c^3*d^2*f*e - 2*a*b^5*d*f^2*e + 10*a^2*b^3*c*d*f^2*e - 8*a^3*b
*c^2*d*f^2*e - 2*a^3*b^3*f^3*e + 8*a^4*b*c*f^3*e + b^4*c^2*d^2*e^2 - 2*a*b^2*c^3*d^2*e^2 - 8*a^2*c^4*d^2*e^2 +
4*a*b^4*c*d*f*e^2 - 20*a^2*b^2*c^2*d*f*e^2 + 16*a^3*c^3*d*f*e^2 + a^2*b^4*f^2*e^2 - 2*a^3*b^2*c*f^2*e^2 - 8*a
^4*c^2*f^2*e^2 - 2*a*b^3*c^2*d*e^3 + 8*a^2*b*c^3*d*e^3 - 2*a^2*b^3*c*f*e^3 + 8*a^3*b*c^2*f*e^3 + a^2*b^2*c^2*e
^4 - 4*a^3*c^3*e^4)*sqrt(-b^2 + 4*a*c)) - (4*B*b*c*d^2*f^2 - 2*A*c^2*d^2*f^2 - 4*B*a*b*d*f^3 + 2*A*b^2*d*f^3 +
4*A*a*c*d*f^3 - 2*A*a^2*f^4 - 3*B*c^2*d^2*f*e + B*b^2*d*f^2*e + 2*B*a*c*d*f^2*e - 6*A*b*c*d*f^2*e + B*a^2*f^3
*e + 2*A*a*b*f^3*e - 2*B*b*c*d*f*e^2 + 4*A*c^2*d*f*e^2 - A*b^2*f^2*e^2 - 2*A*a*c*f^2*e^2 + B*c^2*d*e^3 + 2*A*b
*c*f*e^3 - A*c^2*e^4)*arctan((2*f*x + e)/sqrt(4*d*f - e^2))/((c^4*d^4 + 2*b^2*c^2*d^3*f - 4*a*c^3*d^3*f + b^4*
d^2*f^2 - 4*a*b^2*c*d^2*f^2 + 6*a^2*c^2*d^2*f^2 + 2*a^2*b^2*d*f^3 - 4*a^3*c*d*f^3 + a^4*f^4 - 2*b*c^3*d^3*e -
2*b^3*c*d^2*f*e + 2*a*b*c^2*d^2*f*e - 2*a*b^3*d*f^2*e + 2*a^2*b*c*d*f^2*e - 2*a^3*b*f^3*e + b^2*c^2*d^2*e^2 +
2*a*c^3*d^2*e^2 + 4*a*b^2*c*d*f*e^2 - 4*a^2*c^2*d*f*e^2 + a^2*b^2*f^2*e^2 + 2*a^3*c*f^2*e^2 - 2*a*b*c^2*d*e^3
- 2*a^2*b*c*f*e^3 + a^2*c^2*e^4)*sqrt(4*d*f - e^2)) + (2*B*a*c^4*d^3 - A*b*c^4*d^3 + 3*B*a*b^2*c^2*d^2*f - 2*A
*b^3*c^2*d^2*f - 6*B*a^2*c^3*d^2*f + 5*A*a*b*c^3*d^2*f + B*a*b^4*d*f^2 - A*b^5*d*f^2 - 4*B*a^2*b^2*c*d*f^2 + 5
*A*a*b^3*c*d*f^2 + 6*B*a^3*c^2*d*f^2 - 7*A*a^2*b*c^2*d*f^2 + B*a^3*b^2*f^3 - A*a^2*b^3*f^3 - 2*B*a^4*c*f^3 + 3
*A*a^3*b*c*f^3 - 3*B*a*b*c^3*d^2*e + 2*A*b^2*c^3*d^2*e - 2*A*a*c^4*d^2*e - 2*B*a*b^3*c*d*f*e + 2*A*b^4*c*d*f*e
+ 2*B*a^2*b*c^2*d*f*e - 6*A*a*b^2*c^2*d*f*e + 4*A*a^2*c^3*d*f*e - B*a^2*b^3*f^2*e + A*a*b^4*f^2*e + B*a^3*b*c
*f^2*e - 2*A*a^2*b^2*c*f^2*e - 2*A*a^3*c^2*f^2*e + B*a*b^2*c^2*d*e^2 - A*b^3*c^2*d*e^2 + 2*B*a^2*c^3*d*e^2 + A
*a*b*c^3*d*e^2 + 2*B*a^2*b^2*c*f*e^2 - 2*A*a*b^3*c*f*e^2 - 2*B*a^3*c^2*f*e^2 + 5*A*a^2*b*c^2*f*e^2 - B*a^2*b*c
^2*e^3 + A*a*b^2*c^2*e^3 - 2*A*a^2*c^3*e^3 + (B*b*c^4*d^3 - 2*A*c^5*d^3 + B*b^3*c^2*d^2*f - B*a*b*c^3*d^2*f -
3*A*b^2*c^3*d^2*f + 6*A*a*c^4*d^2*f + B*a*b^3*c*d*f^2 - A*b^4*c*d*f^2 - B*a^2*b*c^2*d*f^2 + 4*A*a*b^2*c^2*d*f^
2 - 6*A*a^2*c^3*d*f^2 + B*a^3*b*c*f^3 - A*a^2*b^2*c*f^3 + 2*A*a^3*c^2*f^3 - B*b^2*c^3*d^2*e - 2*B*a*c^4*d^2*e
+ 3*A*b*c^4*d^2*e - 4*B*a*b^2*c^2*d*f*e + 2*A*b^3*c^2*d*f*e + 4*B*a^2*c^3*d*f*e - 2*A*a*b*c^3*d*f*e - B*a^2*b^
2*c*f^2*e + A*a*b^3*c*f^2*e - 2*B*a^3*c^2*f^2*e - A*a^2*b*c^2*f^2*e + 3*B*a*b*c^3*d*e^2 - A*b^2*c^3*d*e^2 - 2*
A*a*c^4*d*e^2 + 3*B*a^2*b*c^2*f*e^2 - 2*A*a*b^2*c^2*f*e^2 + 2*A*a^2*c^3*f*e^2 - 2*B*a^2*c^3*e^3 + A*a*b*c^3*e^
3)*x)/((c^2*d^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f + a^2*f^2 - b*c*d*e - a*b*f*e + a*c*e^2)^2*(c*x^2 + b*x + a)*(b^2 - 4*a*
c))